これがωt+sin(ωt)に置き換わるのが
縦積みの2オペレータ、つまり
sin(ωt) → sin(ωt+sin(ωt))
上の式の右項目を掛け算と言っている。
これを級数展開するには大学レベルの数学が必要。
掛け算といってもsin(ωt) x sin(ωt) ではない。
これは高校数学の三角関数で習ったと思うが
結果は足し算にしかならない。
正確に言えば掛け算ではなくて
非線形になると言えば良かったんだろうけど、
ただでさえ音作りが難しいFM音源を
余計に訳わかんなくさせるだろうから、
掛け算と言っておいたほうが商売上は
マシだったんじゃないかな。
工学的な信号解析の立場では、どんな波形もフーリエ変換でシヌソイダル波に分解し、「位相角変調」の重ね合わせとして表現する立場が一般的。
また、非シヌソイダル波による周波数変調はサイドバンド構造が複雑になり過ぎて、必ずしも実用的ではないという見切りもあるだろう。
Σ(β_k sin ω_k t)。それを 有限の項 2≦k≦6 で近似するとそのアルゴリズム。
直列三段のアルゴリズムなら
sin(ω_1 t + β_1 sin(ω_2 t + β_2 sin(ω_3 t)))
ですね。
極値をとる条件は
d (sin(ω_c t + β sin(ω_m t))) / dt
= (ω_c + βω_m cos(ω_m t)) cos(ω_c t + β sin(ω_m t))
=0 とおくと
(1) ω_c + βω_m cos(ω_m t) ＝0
(2) ω_c t + β sin(ω_m t) ＝ ±π/2
の二通りあって、
(2)の時は極大値と極小値±1をとる。
(1)の方は cos(ω_m t) ＝ −ω_c / βω_m の時に極値をとる。
任意のパラメータに対して|ω_c / βω_m|≦1が満たされる場合は、波形に小さな凹みができるんだろうね。音にはあんまり関係ないと思うけど。
ttp://jump.5ch.net/?http://people.ece.cornell.edu/land/courses/ece4760/Math/GCC644/FM_synth/Chowning.pdf
(2ページ目の式(1)と説明参照)
ただしくはモジュレータ信号がm(t)＝sin(ω_m t)の時、peak deviationをDとして
位相変調 ： PM(t)＝sin(ω_c t + D sin(ω_m t))
周波数変調: FM(t)＝sin(ω_c t +(D/ω_m)sin(ω_m t - π/2))
※周波数変調では、モジュレーター信号m(t)は瞬時周波数に相等するので
区間(0, t)で積分して
D ∫ sin(ω_m τ)dτ ＝ -(D/ω_m) cos(ω_c t) ＝ (D/ω_m) sin(ω_c t - π/2)
ttp://jump.5ch.net/?http://www.ugs.kochi-tech.ac.jp/knonaka/Tsushin2011-3.pdf
1973 Chowning論文では
周波数変調指数 I ＝ D/ω_m の形は合っていますが
モジュレーターの初期位相φm ＝ - π/2 は省略されています。
周波数変調と位相変調の大きな相違はモジュレータ信号の積分形を使うか使わないかであり
モジュレータ信号が単純な正弦波である限りは、変調指数の「解釈」がちょっと変わるだけで両者はほとんど同じ
というのが関係者の立場なのでしょう。
以上はDX7発売当時から何度も補足されてきた話かと。
ただし瞬時周波数や瞬時位相に関する説明や、なぜ周波数変調ではモジュレータの時間積分が必要かという話は、日本語の解説をあまり見たことがありません。謎
自分の理解では、
時間変化のない、定常波における周波数や位相は、暗黙的に任意時間内の平均値を指しており
時間変化のある非定常状態では、周波数や位相の時間微分形である瞬時周波数や瞬時位相を扱う必要がある
というお話だと理解していたり。
集団ストーカー・電磁波被害で使用されているとされる思考盗聴器。
何やら、開発に成功すると、特許の匂いがふんぷんとしてきおりますな。
開発者は億万長者の地位が約束されていると思われる。
そこで、学者・研究者、エンジニアの方々に問いかける。
思考盗聴・盗撮は可能か？
設計図は引けるか？
何を使えば宜しいか？
電波か？
音波か？
開発してたもれ。
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